光学第一、二章

几何光学

评分细则

本次评分由陈珲有和张爱强助教给出

前五题具体评分细则见清华云盘
后五题具体评分细则见下,每题10分

2.5

题目
凹面镜半径$40cm$

下面采用的公式按照赵凯华书中的符号约定，当然你可以选用自己的符号约定

(1)物体成放大两倍的实像，由横向放大率公式知$|s’|=2|s|$

同时由凹面镜的成像公式$\frac{1}{s’}+\frac{1}{s}=-\frac{2}{r}$

注意实像所以s’需要取正
解得$s=-\frac{3}{4}r=30cm$
(5 points)
(2)物体成放大两倍的虚像，所以s’取负

解得$s=-r/4=10cm$
(5 points)

2.6

题目
反射镜前10cm处的灯丝成像于3m处

(1)因为成像在3m处，所以可以知道应为实像（在镜面左侧），那么可以得出r必然是负的，所以是凹面镜
（2 points)
(2) 由凹面镜成像公式(你应该在上一问已经用过了一次）那么

$\frac{1}{s'}+\frac{1}{s}=-\frac{2}{r}$

可以解得$r=\frac{600}{31}cm=19.4cm$
(5 points)
(3) 由横向放大率公式知$V=-\frac{s’}{s}=-30$,即30倍的倒立实像
(3 points)

2.12

题目

根据费马定理推导傍轴条件球面反射成像

借用教材图2-7中的物理量表示，但此处我们仅假定s,s’,r,$\phi$

使用凸面镜作为例子(注意下面用了(r-s’),没有使用赵凯华教材符号约定，那么可以预测到结果会有一个负号的差异)
那么$p^2=(s+r)^2+r^2-2(s+r)rcos\phi$

$p’^2=(r-s’)^2+r^2-2(r-s’)rcos\phi$

成的是虚像，光程差为$p-p’$,是一个与角度相关的量，由费马定理，光程差平稳，我们需要该公式随角度的导数不变，因此对$\phi$求导

$\frac{d(p-p')}{d\phi}=-\frac{(s+r)rsin\phi}{p}+\frac{(r-s')rsin\phi}{p'}$

上式需要等于0，那么可以得到

$\frac{p}{r+s}=\frac{p'}{r-s'}$

平方，带入最上面两个式子可以得到

$\frac{s^2}{(s+r)^2}-\frac{s'^2}{(r-s')^2}=-4rsin{\phi/2}^2(\frac{1}{s+r}+\frac{1}{r-s'})$

和书上的式2.14很类似，实际上确实如此，仅从费马定理，而没有使用反射公式得到了这个地方，那么
易得(记得开头曾提过s’符号记号是相反的）

$\frac{1}{s}-\frac{1}{s'}=-2/r$

      (10 points,使用费马定理即可)

2.13

题目

根据费马定理推导傍轴条件球面折射成像

借用教材图2-7中的物理量表示，但此处我们仅假定s,s’,r,$\phi$

使用凸透镜作为例子(使用赵凯华教材符号约定)
那么$p^2=(s+r)^2+r^2-2(s+r)rcos\phi$

$p’^2=(s’-r)^2+r^2-2(s’-r)rcos\phi$

成的是实像，光程差为$np+n’p’$,是一个与角度相关的量，由费马定理，光程差平稳，我们需要该公式随角度的导数不变，因此对$\phi$求导

$\frac{d(np+n'p')}{d\phi}=-n\frac{(s+r)rsin\phi}{p}-n'\frac{(s'-r)rsin\phi}{p'}$

上式需要等于0，那么可以得到

$\frac{p}{n(r+s)}=-\frac{p'}{n'(s'-r)}$

平方，带入最上面两个式子可以得到

$\frac{s^2}{(n^2s+r)^2}-\frac{s'^2}{n'^2(s'-r)^2}=-4rsin{\phi/2}^2(\frac{1}{n^2(s+r)}-\frac{1}{n'^2(s'-r)})$

和书上的式2.14很类似，实际上确实如此，仅从费马定理，而没有使用折射公式得到了这个地方，那么

$\frac{n}{s}+\frac{n'}{s'}=(n'-n)/r$

        （10 points,使用费马定理即可）

2.22

题目

屏幕放在100cm处，透镜在物与屏幕间两个位置可以成像在屏幕，间距20cm

(1)成像公式$\frac{1}{s}+\frac{1}{s’}=\frac{1}{f}$

同时$s+s’=d=100cm$

上两式联立$s^2-ds+df=0$

解出的s两个解的差$|s_1-s_2|=\sqrt{d^2-4df}=20cm$

解得$f=24cm,s_1=60cm,s_2=40cm$
（6 points)
(2)对于$s_1$,横向放大率$V=-\frac{s’}{s}=-2/3$

对于$s_2$,横向放大率$V=-\frac{s’}{s}=-3/2$
(4 points)