力学第八章

相对论

评分细则

本次评分由张爱强助教给出

一共10题，每题10分，共100分。

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8.1

题目

空间飞船0.99c，距地球1000m，固有时$2\times10^{-6}s$

(1)观察者测得时间

$\Delta t =\gamma \Delta \tau=1.42\times 10^{-5}s$

(2)在地面参考系中($c=3\times10^8m/s$)

$\Delta x= \Delta t v=4.22\times10^3m$

8.2

题目

$\pi^+$介子速度$(1-5\times10^{-5})c$，平均寿命为$2.5\times10^{-8}s$，

(1)实验室系中的平均寿命为

$\Delta t =\gamma \Delta \tau=2.5\times 10^{-6}s$

(2)通过的平均距离

$\Delta x= \Delta t v=7.5\times10^2m$

8.3

题目

在惯性系K系两事件同一地点，时间差2s，K’系中时间差3s

固有时$\Delta \tau=2s$

(1) K’系相对与K系的速度

$\gamma = \frac{\Delta t}{\Delta tau}$

所以

$v=\frac{\sqrt{5}c}{3}=2.2\times10^8m/s$

(2)在K’系两事件的空间距离

$\Delta x= \Delta t v=6.7\times10^8m$

8.4

题目

在惯性系K中两事件同一时间，距离1m，K’系中两事件距离3m

(1) K’系相对与K系的速度,由洛伦兹变换可知($x’=\gamma(x-\beta ct)$)

$\Delta x'= \gamma \Delta x$ $\gamma = \frac{\Delta x'}{\Delta x}$

所以

$v=\frac{2\sqrt{2}c}{3}=2.8\times10^8m/s$

(2)

$\Delta t=-\gamma \beta \Delta x/c=-0.94\times10^{-8}s$

时间间隔为$0.94\times10^{-8}s$

8.5

题目

惯性系K中匀速圆周运动，轨迹方程$x^2+y^2=a^2,z=0$,在速度V的K’系中观测

由于尺缩效应，导致x方向发生收缩，$x’=x\gamma=x\sqrt{1-\beta^2}$,y方向不变
因此

$\frac{x'^2}{(1-\beta)^2a^2}+\frac{y'^2}{a^2}=1$

是一个椭圆。（此题仅考虑轨迹的形状）

8.6

题目

斜放的直尺以速度V相对惯性系K沿x方向运动，它的固有长度为$l_0$,与之静止的K’系中夹角为$\theta’$，

x轴方向发生尺缩效应，$x=l_0cos\theta’\sqrt{1-\beta^2}$,y方向不发生变化，因此$y=l_0sin\theta’$

因此很容易得到

$l=l_0\sqrt{(\sqrt{1-\beta^2}cos\theta')^2+sin^2\theta'}, tan\theta=\frac{tan\theta'}{\sqrt{1-\beta^2}}$

8.7

题目

K’相对于K以速度V沿x运动，K’系观测一质点速度v’在x’y’平面与x’轴成$\theta’$

由速度变换公式，在K’系中$v’_x=v’cos\theta,v’_y=sin\theta$
K相对K’以速度-V沿x运动

$v_x=\frac{v_x'+V}{1+Vv'_x/c^2}$ $v_x=\frac{v_y'\sqrt{1-\beta^2}}{1+Vv'_x/c^2}$

代入后可以求得K系中的夹角为

$tan\theta=\frac{v'sin\theta\sqrt{1-\beta^2}}{v'cos\theta+V}$

8.8

题目

原子核0.5c离开观察者，在运动方向向上，向后发射光子，向前发射0.8c相对速度电子，对于静止的观察者

光子的速度为-c

对于电子，要用速度变换关系，

$v'=\frac{0.8c+0.5c}{1+0.5c\times 0.8c/c^2}=\frac{13c}{14}=0.929c$

8.9

题目

两飞船相对恒星0.8c速率相反运动，相对速度

选择一个飞船为参考，相对恒星速度$V=-0.8c$,另外一个飞船相对速度$v’=0.8c$

相对速度为

$v=\frac{0.8c+0.8c}{1+0.8c*0.8c/c^2}=0.976c$

8.10

题目

惯性系中观测两个飞船，轨道平行距离d，速率c/2

选择a飞船运动方向为x轴正方向
(1)a以相对K 3c/4发射小包，那么在K系中角度为$cos\theta=2/3$,即沿运动方向x轴速度为-c/2,沿y轴速度为$\sqrt{5}c/4$

那么在a飞船参考系中沿运动方向速度应该为

$va_x=\frac{-c/2-c/2}{1+c/2*c/2/c^2}=-4c/5$ $va_y=\frac{\sqrt{5}c/4*\sqrt{1-\beta^2}}{1+c/2*c/2/c^2}=\frac{\sqrt{3}c}{2\sqrt{5}}$

因此角度为

$tan\theta_a=-\frac{\sqrt{15}}{8}$

解得$\theta_a = 154.17^\circ$

(2)小包速率为

$v_a = \sqrt{va_x^2+va_y^2}=\frac{\sqrt{79}c}{10}=0.889c$

(3)飞船b上观测小包

$vb_x=\frac{-c/2+c/2}{1-c/2*c/2/c^2}=0$ $vb_y=\frac{\sqrt{5}c/4*\sqrt{1-\beta^2}}{1-c/2*c/2/c^2}=\frac{\sqrt{5}c}{2\sqrt{3}}=0.645c$

所以速度方向垂直b的轨迹，大小为0.645c