力学-第一章：

提纲

作业内容

1.2, 1.3, 1.7, 1.8, 1.9, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14, 1.15

评分细则

在和三位助教与老师讨论之后，为了让大家拿到作业的更多分，以步骤给分

每题10分，共计100分;结果正确基本可以拿到满分。

此次评分细则由帅气的张爱强助教给出，准备有点仓促，有错误或者疑问可以发邮件:zhangaq19@mails.tsinghua.edu.cn

1.2

题目：

已知质点位矢随时间变化的函数数值形式为

$\mathbf{r}=R(\cos{\omega t}\mathbf{i}+\sin{\omega t}\mathbf{j})$

(1)质点轨迹
$x=R\cos{\omega t}$和$y=R\sin{\omega t}$ (1分)

轨迹方程

$x^2+y^2=R^2$

      (2分)

是一个圆
(未给出轨迹方程进行解释此次作业扣1分；发现有同学在此处采用了图形解释，描述足够清楚给分，否则扣1分)

(2)速度

$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\\ =R\omega(-\sin{\omega t}\mathbf{i}+\cos{\omega t}\mathbf{j})$

 (3分)

加速度

$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\\ =-R\omega^2(\cos{\omega t}\mathbf{i}+\sin{\omega t}\mathbf{j})\\ =-\omega^2\mathbf{r}$

(3分)

加速度$\mathbf{a}$与$\mathbf{r}$反向，
$\mathbf{r}$在圆上，过该点且沿$\mathbf{r}$方向的直线过圆心，
因此加速度始终指向圆心
(1分)

1.3

题目：
在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数数值形式

$\mathbf{r}=4t^2\mathbf{i}+(2t+3)\mathbf{j}$

(1)质点轨迹
$x=4t^2$和$y=2t+3$
(1分)

轨迹方程

$x={(y-3)}^2$

      (2分)

为抛物线
(未给出轨迹方程进行解释此次作业扣1分；发现有同学在此处采用了抛体运动的定义，描述合理即可给分)
(2)位移

$\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}(t=1)-\mathbf{r}(t=0)=4\mathbf{i}+2\mathbf{j}$

    (2分)

(3)速度

$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\\ =8t\mathbf{i}+2\mathbf{j}$

(有该公式即得2分)

加速度

$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\\ =8\mathbf{i}$

(有该公式即得2分)

所以$\mathbf{v}(t=0)=2\mathbf{j}$,
$\mathbf{v}(t=1)=8\mathbf{i}+2\mathbf{j}$,
$\mathbf{a}(t=0)=\mathbf{a}(t=1)=8\mathbf{i}$ (1分)
(没有中间的公式，直接给出结果的话，错一个扣1分,给出中间公式该问即可满分)

1.7

题目：
一物体作匀加速直线运动，走过$\Delta s$用时$\Delta t_1$,走过下一段$\Delta s$用时
$\Delta t_2$，证明物体加速度

证明即可得10分，未完全证明但写出步骤5分，酌情增减

参考证明如下：
第一段和第二段的平均速度$v_1=\Delta s/{\Delta t_1}$,$v_2=\Delta s/{\Delta t_2}$
—(4分)

因为为匀加速直线运动，所以加速到平均速度的时间为每段时间的一半，即从$v_1$到$v_2$用时$t=(\Delta t_1+\Delta t_2)/2$
—(4分)

加速度为$a=\frac{v_2-v_1}{t}=\frac{2\Delta s}{\Delta t_1\Delta t_2}\frac{\Delta t_1-\Delta t_2}{\Delta t_1+\Delta t_2}$
—(2分)

1.8

题目：
路灯距地面$h_1$，身高$h_2$的人匀速$v_1$直线行走，证明人影顶端匀速运动

证明即可得10分，未完全证明但写出步骤5分，酌情增减
参考证明如下：

由相似三角形可得人影顶位移：

$(x_s-x_p)/x_s=h_2/h_1\\ \mathbf{x_s}=\frac{h_1}{h_1-h_2}\mathbf{x_p}$

此处要注意到这个公式是矢量式，即使路灯不在人行走的路线上也满足。
(6分)
所以速度为

$\frac{dx_s}{dt}=\frac{h_1}{h_1-h_2}\frac{dx_p}{dt}=\frac{h_1}{h_1-h_2}v_1$

(4分)

1.9

题目：
设$\alpha$为观看靶子的仰角，$\beta$为炮弹的发射角，证明：炮弹命中靶点为弹道最高点时有

证明即得10分，未完全证明但写出步骤5分，酌情增减

$\tan{\beta}=v_y/v_x$

(4分)

$\tan{\alpha}=y/x=\frac{v_yt/2}{v_xt}=v_y/{2v_x}$

(5分)

$\tan{\beta}=2\tan{\alpha}$

(1分)

1.11

题目：
飞机以$v_0=100m/s$的速度水平直线飞行，离地面高$h=98m$时，

(1)投放物品，驾驶员看目标视线和竖直线角度
的正切值即为水平位移与竖直位移之比

$\tan{\alpha}=x/y=\frac{v_x\sqrt{2h/g}}{h}=v_x\sqrt{2/gh}$

取$g=9.8m/s^2$,那么

$\alpha=arctan(4.56)=77.64^\circ$

(3分)

水平位移

$x=v_xt=v_x\sqrt{2h/g}=447.2m$

(2分)

(2)物品投出1s后物品的法向加速度与切向加速度
速度分量$v_x=v_0$,$v_y=gt_1$,水平夹角$\theta=arctan(v_y/v_x)=5.6^\circ$,
加速度分量$a_x=0$,$a_y=g$，
(角度值不必算出，不计分，描述完整即可一共1分)
实际上就是加速度在速度切向和法向进行分解

$a_n=g\cos{\theta}=9.75m/s^2$

(2分)

$a_t=g\sin{\theta}=0.96m/s^2$

(2分)

1.12

题目：
已知炮弹发射角$\theta$，初速$v_0$，求抛物线轨道的曲率半径随高度的变化

速度大小的平方为

$v^2={v_x}^2+{v_y}^2={v_x}^2+{v_{0y}}^2-2gh={v_0}^2-2gh$

(此步骤可由能量守恒推导，同样给分，)
(3分)
法向加速度为

$a_n=g\cos{\theta_1}=g\frac{v_x}{v}=g\frac{v_0\cos{\theta}}{v}$

(3分)
曲率半径为

$\rho=v^2/a_n=\frac{({v_0}^2-2gh)^{3/2}}{gv_0\cos{\theta}}$

(4分)

1.13

题目：
弹性球静止数值落在斜面A，$h=20m$，斜面夹角$\theta=30^\circ$弹性球第二次碰到斜面距A

未换用坐标系同样给分，结果正确即可，若此种方法未完成给5分，酌情增减

以斜面为x轴构建坐标系，
(2分)
初始速度$v=\sqrt{2gh}$,$v_y=v\cos{\theta}$,$v_x=v\sin{\theta}$
(2分)
落到斜面用时$t=2v_y/(gcos{\theta})$
(3分)
距离

$x=v_xt+g\sin{\theta}t^2/2=4h=0.80m$

(此处不需要将g代入数值，如果在前面步骤出现代入数值情况，扣1分，此步骤3分)

1.14

题目：
物体从静止开始圆周运动，切向加速度$a_t=3.00m/s^2$,圆半径$R=300M$,经过多少时间加速度a与半径45度

切向速度$v=a_tt$
(3分)
法向加速度$a_n=v^2/R$
(3分)
夹角为45度时$\tan{\theta}=1=a_t/a_n$
解得

$t=\sqrt{R/a}=10s$

(4分)

1.15

题目：
物体和探测气球从同一高度数值向上运动，物体初速度$v_0$,气球速度$v$，气球中观测者分别在2s,3s.4s，测得
物体速度

$g=9.8m/s^2$

需要用到伽利略坐标系变换，观测者的参考系下，气球速度$v_{bp}=v_{bg}-v_{p_g}=29.4-9.8t$
其中b,p,g分别为ballon,person,ground指代，无关紧要
(7分)
在地面参考系下
$v_0(t=2)=v_0-gt=29.4m/s$
$v_0(t=3)=19.6m/s$
$v_0(t=4)=9.8m/s$
在观测者坐标系下
$v_{bp}(t=2)=9.8m/s$
$v_{bp}(t=3)=0m/s$
$v_{bp}(t=4)=-9.8m/s$
(3分）

(如果直接给出结果，同样给分，但结果错一个直接扣3分；给出公式的话，7分起步，错一个结果扣1分）